从数分习题说起

在数分的学习中，有一道经典例题是这样的：

Example 1. 设函数f在$x=0$处连续，且对一切x, y有$f(x+y)=f(x)+f(y)$. 证明f在$\mathbb{R}$上连续，且$f(x) = f(1)x$.

这道题的解答是平凡的，我们在此只简述一下思路：运用$f(x+y)=f(x)+f(y)$这一条件, 我们可以得到$f(x+\Delta x)-f(x) = f(\Delta x)$, 从而易证$f$在$\mathbb{R}$上连续；进一步，易证$f$在$\mathbb{Q}$上满足$f(x)=f(1)x$，再运用$f$的连续性，可证题中结论。

实际上，方程$f(x+y) = f(x)+f(y)$被称作柯西方程（Cauchy’s functional equation），我们在许多条件下都能得到题中的线性函数结论，诸如$f$是单调的，$f$是局部有界的，等等。

而当我们思考一个更进一步的问题，如果我们去掉这些前置条件，仅仅考虑这个方程本身，那么还能确定出（在$f(1)$确定的情况下）唯一的函数$f(x)$吗？答案是否定的。